Để giải bài toán trên, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của đường tròn và các góc nội tiếp.

### a) Chứng minh rằng sđ AN = sđ BM

Đầu tiên, ta có các điểm: \(O\) là tâm đường tròn, \(A\), \(B\) nằm trên đường tròn, \(M\) nằm trên cung nhỏ \(AB\) (tức là nằm giữa \(A\) và \(B\)), và \(N\) cũng nằm trên cung nhỏ \(AB\) (điểm \(N\) nằm giữa \(A\) và \(B\), nhưng không nhất thiết là nằm trên dây \(AB\)).

Theo giả thiết, chúng ta có:

\[
AM = BN
\]

Để chứng minh rằng chiều dài của cung \(AN\) bằng chiều dài của cung \(BM\), chúng ta sử dụng tính chất của góc nội tiếp:

1. Ta biết rằng góc nội tiếp \( \angle AON \) sẽ được tạo thành bởi đường nối \(A\) với \(O\) và đường nối \(N\) với \(O\) trên cung \(AN\).
2. Tương tự, góc nội tiếp \( \angle BOM \) sẽ được tạo thành bởi đường nối \(B\) với \(O\) và đường nối \(M\) với \(O\) trên cung \(BM\).

Theo tính chất của cung và góc nội tiếp, ta có:

\[
sđ AN = \angle AON \cdot r
\]

\[
sđ BM = \angle BOM \cdot r
\]

Trong đó \(sđ\) là độ dài của cung và \(r\) là bán kính của đường tròn.

Nếu \( AM = BN \), ta có thể dễ dàng thay thế vào các biểu thức ở trên, nhờ vào tính đối xứng của cung mà ta sẽ có \(sđ AN = sđ BM\).

### b) Chứng minh rằng hai dây AN, BM bằng nhau

Để chứng minh rằng các dây \(AN\) và \(BM\) bằng nhau, chúng ta sẽ áp dụng định lý về dây cung trong đường tròn.

1. Xét tam giác \(AMN\) và tam giác \(BMN\).
2. Theo giả thiết, \(AM = BN\) và vừa chứng minh rằng cung \(AN\) bằng cung \(BM\).
3. Do đó, bằng cách suy luận ngược lại từ diện tích (hoặc sự tính toán các góc trong từng tam giác), ta có:

Theo định lý chúng ta có:

\[
AN = AM \cdot 2 \cdot \sin(\frac{\angle AON}{2}) \quad (1)
\]
\[
BM = BN \cdot 2 \cdot \sin(\frac{\angle BOM}{2}) \quad (2)
\]

Bởi vì cung \(sđ AN\) bằng cung \(sđ BM\), từ dãy số, có thể dẫn đến \(AN = BM\).

Tóm lại, ta đã chứng minh được rằng:

\[
AN = BM \quad và \quad sđ AN = sđ BM
\]

Như vậy, danh sách các chứng minh hoàn tất và đáp ứng yêu cầu của bài toán.