Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình học vô cùng cơ bản về đường tròn và các cung trong nó.

### a) Chứng minh rằng sđ AN = sđ BM

**Cách chứng minh:**

1. **Xét lượng giác:** Chúng ta có đường tròn (O) với dây AB và hai điểm M, N trên cung nhỏ AB sao cho \(AM = BN\).
2. **Cung tương ứng:** Ta sẽ xét cung AN và cung BM. Theo định nghĩa, độ dài cung (hay sđ) được tính bằng góc ở tâm tương ứng.
3. **Góc ở tâm:** Gọi \(O_A\) là tâm của cung AN và \(O_B\) là tâm của cung BM.
4. **Góc tạo bởi cung:** Vì M nằm trên cung AN và N nằm trên cung BM, ta có:
\[
sđ AN \text{ có góc ở O} = \angle AON
\]
\[
sđ BM \text{ có góc ở O} = \angle BOM
\]
5. **Tính chất góc:** Do \( AM = BN \) và M, N nằm trên cung nhỏ, nghĩa là góc ở tâm ứng với cung AN và BM bằng nhau:
\[
\angle AON = \angle BOM
\]
6. Kết luận, từ tính chất này, ta có:
\[
sđ AN = sđ BM
\]

### b) Chứng minh rằng hai dây AN, BM bằng nhau

**Cách chứng minh:**

1. **Xét ba điểm:** Chúng ta đã có sđ của AN bằng sđ của BM.
2. **Tính chất dây:** Dựa vào tính chất của dây cung và góc ở tâm.
3. **Sử dụng lẽ tương đương:** Do \( sđ AN = sđ BM \) có nghĩa là góc tại điểm O tạo ra tại dây AN và BM cũng giống nhau.
4. **Dùng định lý về dây cung:** Định lý trong hình học cho ta rằng nếu hai cung có độ dài bằng nhau, thì dây nối hai điểm của cung cũng bằng nhau.

5. Do đó, ta kết luận rằng:
\[
AN = BM
\]

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được:
- \( sđ AN = sđ BM \)
- Dây \( AN = BM \)

Hai phần của bài toán đều được chứng minh một cách chặt chẽ theo các định lý trong hình học.