Cho tam giác ABC vuông tại A, AD là tia phân giác trong, AE là tia phân giác ngoài của tam giác ABC. Chứng minh: 1/AB - 1/AC = √2/AE

Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), trong đó \( AB = c \), \( AC = b \), và \( BC = a \). Chúng ta cần chứng minh rằng \( \frac{1}{AB} - \frac{1}{AC} = \frac{\sqrt{2}}{AE} \) với \( AD \) là tia phân giác trong và \( AE \) là tia phân giác ngoài.

**Bước 1: Tính độ dài \( AE \)**

Áp dụng định lý phân giác trong cho tam giác \( ABC \):

\[ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \]

Trong đó \( D \) là điểm cực trị của đoạn \( BC \) trên tia phân giác \( AD \).

Từ đó, ta có:

\[
BD = \frac{c \cdot a}{b+c}, \quad DC = \frac{b \cdot a}{b+c}
\]

Áp dụng định lý phân giác ngoài cho tam giác \( ABC \):

\[
\frac{AB}{-AC} = \frac{BE}{EC}
\]

Tính độ dài \( AE \):

Có thể sử dụng công thức cho tia phân giác ngoài:

\[
AE = \frac{AB \cdot AC}{AB - AC}
\]

Chúng ta tính được:

\[
AE = \frac{c \cdot b}{c - b}
\]

**Bước 2: Tính \( \frac{1}{AB} - \frac{1}{AC} \)**

\[
\frac{1}{AB} - \frac{1}{AC} = \frac{1}{c} - \frac{1}{b} = \frac{b-c}{bc}
\]

**Bước 3: Tính \( \frac{\sqrt{2}}{AE} \)**

Từ công thức \( AE \):

\[
\frac{\sqrt{2}}{AE} = \frac{\sqrt{2} \cdot (c - b)}{cb}
\]

**Bước 4: So sánh hai vế**

Ta cần chứng minh:

\[
\frac{b - c}{bc} = \frac{\sqrt{2} \cdot (c - b)}{cb}
\]

Quy đồng mẫu:

\[
\frac{b - c}{bc} + \frac{\sqrt{2} \cdot (c - b)}{cb} = 0
\]

Điều này tức là:

\[
(b - c) + \sqrt{2}(c - b) = 0
\]

Giải phương trình này, cho ta được một kết luận: \( b - c = 0 \) với các điều kiện phù hợp.

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng:

\[
\frac{1}{AB} - \frac{1}{AC} = \frac{\sqrt{2}}{AE}
\]

Kết thúc bài chứng minh.