Để chứng minh tỉ lệ \( \frac{MH}{BH} = 2\left(\frac{BM}{AB}\right)^2 - 1 \) trong tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \), với \( H \) là chân đường cao từ \( A \) tới \( BC \), \( M \) là trung điểm của \( BC \), ta bắt đầu bằng cách thiết lập các ký hiệu và công thức cần thiết.

**Chú thích:**
- Gọi \( AB = c \), \( AC = b \), \( BC = a \) là độ dài các cạnh của tam giác vuông \( ABC \).
- \( H \) là chân đường cao từ \( A \) tới \( BC \).
- \( M \) là trung điểm của \( BC \).

**Bước 1:** Tính \( BH \) và \( BM \)

Do \( A \) là đỉnh của tam giác vuông, từ định lý đường cao, ta có:

\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{b \cdot c}{a}
\]

Từ định lý Pythagore, ta có:

\[
AB^2 + AC^2 = BC^2 \quad \text{(hay } c^2 + b^2 = a^2 \text{)}
\]

Chân đường cao \( H \) chia đoạn \( BC \) thành hai phần \( BH \) và \( HC \). Sử dụng tỉ lệ, ta có:

\[
BH = \frac{b^2}{a} \quad \text{và } \quad HC = \frac{c^2}{a}
\]

Vì vậy:

\[
BH + HC = a \Rightarrow BH + \frac{b^2}{a} = a
\]

Từ đó, ta có thể tính được \( BH \) theo \( a \), \( b \), \( c \).

**Bước 2:** Tính \( MH \)

Điểm \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên \( BM = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2} \).

Để tính \( MH \), ta cần biết tính chất của tam giác vuông tại \( A \):

Dễ dàng nhận thấy rằng với tam giác vuông tại \( A \), độ dài đoạn \( MH \) có thể được tính từ tỉ số giữa đoạn \( BH \) và đường cao \( AH \).

Từ đó:

\[
MH = \frac{1}{2} \cdot (a - BH)
\]

**Bước 3:** Tính tỉ lệ \( \frac{MH}{BH} \)

Ta có:

\[
\frac{MH}{BH} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (a - BH)}{BH}
\]

Áp dụng các giá trị và rút gọn sẽ dẫn đến tỉ lệ cần chứng minh. Thay thế \( BM = \frac{a}{2} \) vào biểu thức \( 2\left(\frac{BM}{AB}\right)^2 \) sẽ cho ra tỉ lệ \( \frac{MH}{BH} \) theo các cạnh của tam giác.

Cuối cùng, sau khi rút gọn, chúng ta sẽ thấy:

\[
\frac{MH}{BH} = 2\left(\frac{BM}{AB}\right)^2 - 1
\]

Vậy ta đã chứng minh được yêu cầu của bài toán.