Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = 2x^2 + 28x + 101 \), ta có thể sử dụng công thức tìm cực tiểu của hàm bậc hai.

Hàm bậc hai \( A = ax^2 + bx + c \) có giá trị nhỏ nhất (vì \( a > 0 \)) tại:

\[
x_{min} = -\frac{b}{2a}
\]

Ở đây, \( a = 2 \), \( b = 28 \), \( c = 101 \).

Thay vào công thức:

\[
x_{min} = -\frac{28}{2 \cdot 2} = -\frac{28}{4} = -7
\]

Tiếp theo, ta thay \( x = -7 \) vào biểu thức \( A \) để tìm giá trị nhỏ nhất:

\[
A(-7) = 2(-7)^2 + 28(-7) + 101
\]
\[
= 2(49) - 196 + 101
\]
\[
= 98 - 196 + 101
\]
\[
= 3
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) là \( 3 \).