Chúng ta có bài toán tìm tất cả các số tự nhiên \( n \) sao cho biểu thức \( 5n + 145n + 14 \) chia hết cho \( n + 2n + 2 \).

Đầu tiên, biểu thức \( 5n + 145n + 14 \) có thể được rút gọn như sau:

\[
5n + 145n + 14 = 150n + 14
\]

Biểu thức chia \( n + 2n + 2 \) cũng có thể rút gọn:

\[
n + 2n + 2 = 3n + 2
\]

Chúng ta cần tìm điều kiện chia hết, tức là:

\[
150n + 14 \equiv 0 \mod (3n + 2)
\]

Khi đó, ta sẽ thực hiện phép chia \( 150n + 14 \) cho \( 3n + 2 \).

1. Chia \( 150n + 14 \) cho \( 3n + 2 \).

Lấy phép chia, ta có:

\[
\frac{150n + 14}{3n + 2} = 50 \text{ (hệ số của } n \text{)}
\]

Bây giờ chúng ta nhân lại:

\[
50(3n + 2) = 150n + 100
\]

Từ đó, chúng ta có:

\[
150n + 14 - (150n + 100) = 14 - 100 = -86
\]

Điều đó có nghĩa là:

\[
150n + 14 = k(3n + 2) \quad \text{ với k là một số nguyên}
\]

Vì \( 150n + 14 \) chia hết cho \( 3n + 2 \), ta cần có \( -86 \equiv 0 \mod (3n + 2) \).

Điều này cho thấy rằng \( 3n + 2 \) phải là một ước của \( 86 \).

2. Tìm các ước của \( 86 \):

Các ước dương của \( 86 \) là \( 1, 2, 43, 86 \).

Giải từng trường hợp:

- **Khi \( 3n + 2 = 1 \):**
\[
3n = -1 \Rightarrow \text{ không có nghiệm tự nhiên.}
\]

- **Khi \( 3n + 2 = 2 \):**
\[
3n = 0 \Rightarrow n = 0
\]

- **Khi \( 3n + 2 = 43 \):**
\[
3n = 41 \Rightarrow n = \frac{41}{3} \Rightarrow \text{ không phải là số tự nhiên.}
\]

- **Khi \( 3n + 2 = 86 \):**
\[
3n = 84 \Rightarrow n = 28
\]

Từ các phân tích trên, các số tự nhiên \( n \) thoả mãn điều kiện đã tìm được là \( n = 0 \) và \( n = 28 \).

Vậy, tất cả các số tự nhiên \( n \) thoả mãn điều kiện là:

\[
\{0, 28\}
\]
(theo yêu cầu "số tự nhiên", chúng ta chỉ lấy \( n = 28 \)).