Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng phần một.

### Phần 1: Chứng minh tam giác CEB cân

1. **Các giả thiết**:
- Hình thoi ABCD có AB // CD.
- AD = CD.
- AC vuông góc với BC.
- C kẻ đường thẳng song song với AD, cắt AB tại E.

2. **Xét tam giác CEB**:
- Từ đề bài, ta có AB // CD và CE // AD.
- Do đó, góc ABE và góc CED là góc đồng vị và bằng nhau.
- Tương tự, ta có góc BAE và góc DCE cũng là góc đồng vị và bằng nhau.

3. **Sử dụng tính chất của hình thoi**:
- Do hình thoi nên AB = CD = AD.
- Gọi các cạnh là \(AB = a\), \(AD = b\).
- Nếu ta xét hai tam giác CBE và CED, chúng có cùng độ dài cạnh CE và cùng một góc (góc C), do đó tam giác CBE = tam giác CED.

4. **Kết luận**:
- Từ các góc đồng vị, ta có \( \angle CEB = \angle CBE\) ⇒ tam giác CEB cân với CE = EB.

### Phần 2: Điều kiện để tam giác CEB đều

Để tam giác CEB là tam giác đều, điều kiện cần là tất cả các cạnh của tam giác này phải bằng nhau.

Do tam giác CEB là tam giác cân (như đã chứng minh ở phần trước), ta cần \(CE = EB\) và \(CB\) cũng phải bằng \(CE\).

1. **Xét điều kiện này**:
- Nếu BC = CE, ta có tam giác CEB đều, có nghĩa là BC cũng phải bằng EB.

2. **Hình thang ABCD**:
- Để điều kiện này được thỏa mãn, ta cần hình thang ABCD có độ dài các cạnh sao cho góc BCA = 60 độ. Khi đó góc CAB cũng sẽ là 60 độ.
- Ta cũng cần AD // CD, điều này sẽ đảm bảo hình thang có tính chất đối xứng, từ đó cho phép tam giác CEB trở thành tam giác đều.

### Kết luận

1. Tam giác CEB là tam giác cân.
2. Để tam giác CEB là tam giác đều, hình thang ABCD phải đáp ứng điều kiện góc BCA = 60 độ và cạnh BC = CE = EB.