Để giải phương trình \( \sin 2x + 4 \cos x = 0 \), ta có thể chuyển đổi nó về dạng khác.

Ta sử dụng công thức \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \):

\[
2 \sin x \cos x + 4 \cos x = 0
\]

Có thể chép lại và đưa \( \cos x \) ra ngoài:

\[
\cos x (2 \sin x + 4) = 0
\]

Từ đây, ta có hai trường hợp:

1. \( \cos x = 0 \)
2. \( 2 \sin x + 4 = 0 \)

**Xét trường hợp 1:** \( \cos x = 0 \)

Phương trình này có nghiệm là:

\[
x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]

**Xét trường hợp 2:** \( 2 \sin x + 4 = 0 \)

Giải phương trình này:

\[
\sin x = -2
\]

Tuy nhiên, hàm sin chỉ nhận giá trị từ -1 đến 1, do đó không có nghiệm nào cho trường hợp này.

Vậy nghiệm của phương trình chỉ có từ trường hợp 1.

Do đó, nghiệm của phương trình \( \sin 2x + 4 \cos x = 0 \) là:

\[
x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Nên đáp án đúng là:

**D. \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \)**.