Để chứng minh đẳng thức \( \sin 4\alpha = 4 \sin \alpha \cos \alpha (1 - 2\sin^2 \alpha) \), ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác.

### Bước 1: Đặt \( \sin 4\alpha \) theo công thức

Ta biết:
\[
\sin 4\alpha = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha
\]

### Bước 2: Tính \( \sin 2\alpha \) và \( \cos 2\alpha \)

Sử dụng công thức chuyển đổi:
\[
\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha
\]
\[
\cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha
\]

### Bước 3: Thay vào công thức của \( \sin 4\alpha \)

Thay các kết quả vừa tìm vào:
\[
\sin 4\alpha = 2 \cdot (2 \sin \alpha \cos \alpha) \cdot (1 - 2 \sin^2 \alpha) = 4 \sin \alpha \cos \alpha (1 - 2 \sin^2 \alpha)
\]

### Kết luận

Vậy ta đã chứng minh được đẳng thức:
\[
\sin 4\alpha = 4 \sin \alpha \cos \alpha (1 - 2 \sin^2 \alpha)
\]