Để rút gọn biểu thức \( A \), ta có thể tiến hành từng bước như sau:

1. **Rút gọn từng phần trong biểu thức A:**

\[
A = \left( \sqrt{\frac{x}{x-1}} + \frac{1}{x - \sqrt{x}} \right) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{x}+1} + \frac{2}{x-1} \right)
\]

2. **Bước 1: Rút gọn phần \(\sqrt{\frac{x}{x-1}} + \frac{1}{x - \sqrt{x}}\)**

Tìm mẫu chung và cộng.

- Đặt \( y = \sqrt{x} \), ta có \( x = y^2 \).
- Biểu thức trở thành \( \sqrt{\frac{y^2}{y^2 - 1}} + \frac{1}{y^2 - y} \).

Sau khi tìm mẫu chung và tính toán, rút gọn.

3. **Bước 2: Tương tự cho phần \(\frac{1}{\sqrt{x}+1} + \frac{2}{x-1}\)**

Đặt mẫu chung và cộng lại.

4. **Rút gọn toàn bộ biểu thức**:

Sau khi thực hiện các phép biến đổi, bạn có thể áp dụng các quy tắc của đại số và bất đẳng thức để kết hợp và tính toán.

5. **Tìm giá trị của \( x \) sao cho \( A < 0 \)**:

Giải bất phương trình đã tìm được sau khi rút gọn.

Chú ý rằng có thể sử dụng các phương pháp phân tích đồ thị hoặc xét tính đồng biến để tìm giá trị \( x \).

Nếu bạn cần từng bước cụ thể hơn trong phép tính, hãy cho tôi biết!