Chúng ta có một tam giác đều \(ABC\) và một điểm \(M\) nằm trong tam giác. Đặt \(D\), \(E\), \(F\) lần lượt thuộc các cạnh \(BC\), \(CA\), \(AB\) sao cho \(MD \parallel AB\), \(ME \parallel BC\), và \(MF \parallel CA\). Chúng ta cần chứng minh rằng tổng \(MD + ME + MF\) không phụ thuộc vào vị trí của điểm \(M\).

Để chứng minh điều này, ta sử dụng tính chất của các đoạn thẳng song song và định lý hình học cơ bản.

### Bước 1: Sử dụng hệ trục tọa độ

Chúng ta có thể gán cho các điểm \(A\), \(B\), \(C\) tọa độ như sau:
- \(A(0, 0)\)
- \(B(a, 0)\)
- \(C\left( \frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2} \right)\)

Giả sử \(M\) có tọa độ \((x, y)\). Từ các điều kiện đã cho, chúng ta có thể biểu diễn tọa độ các điểm \(D\), \(E\), \(F\) như sau:

### Bước 2: Tính toán độ dài MD, ME, MF

1. **Độ dài \(MD\)**:
- Vì \(MD \parallel AB\), tọa độ của \(D\) sẽ có dạng \((x_D, 0)\) với \(x_D\) nằm trong đoạn \(BC\).
- Độ dài \(MD = y\).

2. **Độ dài \(ME\)**:
- Vì \(ME \parallel BC\), tọa độ của \(E\) sẽ có dạng \(\left( x_E, y_E \right)\) sao cho giá trị \(y_E\) thay đổi để \(ME\) nằm trên đoạn \(CA\).
- Ta có \(ME = \text{hệ số tỷ lệ} \times BC\) theo chiều cao từ \(M\) đến \(BC\).

3. **Độ dài \(MF\)**:
- Tương tự, \(MF \parallel CA\) làm cho \(F\) nằm trên đoạn \(AB\).
- Độ dài \(MF = \text{hệ số tỷ lệ} \times CA\).

### Bước 3: Áp dụng định lý diện tích

Tổng \(MD + ME + MF\) thực chất giống như tổng chiều cao từ \(M\) đến ba cạnh của tam giác. Theo định lý về diện tích của tam giác, tổng chiều cao \(MD + ME + MF\) từ một điểm \(M\) trong tam giác đến ba cạnh của nó là không đổi với các cạnh và không phụ thuộc vào vị trí của \(M\).

### Kết luận

Từ các tính toán và nhận xét trên, chúng ta có:
\[
MD + ME + MF = \text{hằng số}
\]
vì nó phụ thuộc vào chiều cao của tam giác đều và không thay đổi khi \(M\) dịch chuyển trong tam giác. Vậy, tổng \(MD + ME + MF\) không phụ thuộc vào vị trí của điểm \(M\).

Do đó, ta đã chứng minh được yêu cầu của bài toán.