Để chứng minh các kết quả trên cho tam giác nhọn \( ABC \) và các đường cao \( BD \) và \( CE \), ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a) Chứng minh bốn điểm \( B, E, D, C \) cùng thuộc một đường tròn và xác định tâm \( O \) của đường tròn đó.

Trong tam giác nhọn \( ABC \), ta có các đường cao \( BD \) và \( CE \). Ta sẽ chứng minh rằng \( B, E, D, C \) nằm trên cùng một đường tròn.

**Chứng minh:**
- Xét góc \( \angle BEC \). Bởi vì \( E \) là chân đường cao từ \( C \) xuống \( AB \), ta có \( \angle BEC = 90^\circ \).
- Xét góc \( \angle BDC \). Bởi vì \( D \) là chân đường cao từ \( B \) xuống \( AC \), ta có \( \angle BDC = 90^\circ \).

Ta có \( \angle BEC + \angle BDC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).
Do đó, bốn điểm \( B, E, D, C \) thuộc một đường tròn theo định lý về góc nội tiếp.

**Tâm \( O \) của đường tròn:**
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \( B, E, D, C \) chính là giao điểm của hai đường chéo \( BE \) và \( DC \).

### b) Chứng minh bốn điểm \( A, D, H, E \) cùng thuộc một đường tròn và xác định tâm \( I \) của đường tròn đó.

**Chứng minh:**
Xét tứ giác \( A, D, H, E \):
- \( D \) là chân đường cao từ \( B \) và \( E \) là chân đường cao từ \( C \). Tại điểm \( H \) là giao điểm của \( BD \) và \( CE \), ta có:
- \( \angle ADE = 90^\circ \) (vì \( D \) là chân đường cao từ \( B \)).
- \( \angle AHE = 90^\circ \) (vì \( E \) là chân đường cao từ \( C \)).

Do đó, ta cũng có \( \angle ADE + \angle AHE = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\).
Như vậy, bốn điểm \( A, D, H, E \) cùng thuộc một đường tròn theo định lý về góc nội tiếp.

**Tâm \( I \) của đường tròn:**
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác này chính là giao điểm của các đường chéo \( AD \) và \( HE \).

### c) Chứng minh \( BC > DE \) và \( AH > DE \).

**Chứng minh \( BC > DE \):**
Dễ thấy rằng trong tam giác \( ABC \) nhọn, độ dài của cạnh \( BC \) lớn hơn chiều cao \( DE \) của tam giác \( BDC\) kéo dài đến cạnh \( AC \).
Ta có:
- \( DE \) là chiều cao từ \( B \) đến \( AC \), do đó \( DE < BC \).

**Chứng minh \( AH > DE \):**
Tương tự, chiều cao \( DE \) từ \( C \) đến cạnh \( AB \) nhỏ hơn khoảng cách từ \( A \) đến điểm \( D \) (là độ dài đường thẳng trong tam giác nhọn).
Ta có:
- \( AH \) là khoảng cách từ \( A \) đến giao điểm \( H \) của hai đường cao \( BD \) và \( CE \), đồng thời \( AH \) lớn hơn chiều cao \( DE \).

Do đó, \( AH > DE \).

### Kết luận

- Bốn điểm \( B, E, D, C \) cùng thuộc một đường tròn với tâm là giao điểm của \( BE \) và \( DC \).
- Bốn điểm \( A, D, H, E \) cùng thuộc một đường tròn với tâm là giao điểm của \( AD \) và \( HE \).
- Chúng ta đã chứng minh được \( BC > DE \) và \( AH > DE \) trong tam giác nhọn \( ABC \).