Để xác định tứ giác AHCE có hình gì, chúng ta cần phân tích các tính chất của các điểm và đoạn thẳng liên quan.

1. **Điểm H** là chân đường cao từ A xuống cạnh BC, có nghĩa là AH vuông góc với BC.
2. **Điểm I** là trung điểm của AC, cho nên AI = IC.
3. **Điểm E** là điểm đối xứng với H qua I, do đó, I sẽ là trung điểm của đoạn thẳng HE.

Do đó, ta có các yếu tố sau:
- AH vuông góc với BC, và từ H đến I và từ I đến E là những đoạn thẳng có cùng độ dài vì E đối xứng với H qua I.
- Vì I là trung điểm của AC, nên AI = IC.

### Các tính chất của tứ giác AHCE:
- Đường chéo AI và EH đều đi qua I.
- AH vuông góc với AC tại H.
- E là đối xứng của H qua I, nên AE = HI.

#### Kết luận:
Với các tính chất trên, ta có thể nhận thấy rằng tứ giác AHCE sẽ là hình chữ nhật, và cũng là hình thang vuông (vì có 1 góc vuông tại H).

Vì vậy, đáp án chính xác cho câu hỏi này là: **D. Hình chữ nhật**.