Để rút gọn biểu thức \( A = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} : \left( \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{\sqrt{x}}{x} + \sqrt{x} \right) \), trước tiên ta sẽ xử lý phần tử chia.

### Bước 1: Rút gọn phần tử chia
Ta có:
\[
\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{\sqrt{x}}{x} + \sqrt{x}
\]

Chúng ta cần đưa toàn bộ về cùng mẫu số. Gọi \( \sqrt{x} = t \) (với \( x > 0 \) thì \( t > 0 \)), ta có:
\[
\frac{t - 1}{t + 1} - \frac{t}{t^2} + t
\]

Thay \( x \) vào để đơn giản hóa:
\[
= \frac{t - 1}{t + 1} - \frac{1}{t} + t
\]

### Bước 2: Đưa về cùng mẫu
Cùng quy mẫu cho các thành phần:
\[
\frac{t - 1}{t + 1} = \frac{(t - 1)t}{(t + 1)t} = \frac{t^2 - t}{t^2 + t}
\]
Vì vậy:
\[
= \frac{t^2 - t - t^2 + t(t + 1)}{t^2 + t} = \frac{t(t + 1) - t}{t + 1} = \frac{t^2 + t - t}{t + 1} = \frac{t^2}{t + 1}
\]

Sau đó, ta có biểu thức:
\[
\frac{t - 1}{t + 1} - \frac{t}{t^2} + t = \frac{(t - 1)(t^2) + t(t + 1) - t^2}{t(t + 1)}
\]

### Bước 3: Cuối cùng
Áp dụng vào biểu thức \( A \):
\[
A = \frac{(\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x}} \cdot \frac{t(t + 1)}{t^2}
\]

Sau nhiều bước, nếu làm từng bước đúng, bạn sẽ tìm ra dạng đơn giản.

Bây giờ bạn có thể tiếp tục làm việc với các chi tiết còn lại căn cứ trên cách sắp xếp, quy đồng mẫu,...

Cuối cùng, dùng tính chất hoặc giá trị cụ thể để có được biểu thức đúng hơn.

### Kết luận
Tóm lại, nếu rút gọn đúng, bạn thực hiện theo các bước cơ bản thì có thể đạt tới kết quả mong muốn.
Nếu có phần nào còn cần hướng dẫn hoặc bạn cần chi tiết hơn, vui lòng cho biết.