Để tìm nguyên hàm của biểu thức

\[
\int \frac{e^x \left( 2 + e^{-x} \right)}{\cos^2 x} \, dx,
\]

ta có thể biến đổi biểu thức trong hàm tích phân trước khi tính:

1. **Biến đổi biểu thức**:
\[
e^{-x} = \frac{1}{e^x} \implies e^x \left( 2 + e^{-x} \right) = e^x \cdot 2 + 1 = 2e^x + 1.
\]
Do đó, biểu thức trở thành:
\[
\int \frac{2e^x + 1}{\cos^2 x} \, dx.
\]

2. **Phân rã thành hai tích phân**:
\[
\int \frac{2e^x}{\cos^2 x} \, dx + \int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx.
\]

3. **Tính từng tích phân**:
- Tích phân thứ hai:
\[
\int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \tan x + C_1.
\]

- Tích phân thứ nhất có thể giải bằng cách sử dụng phương pháp tích phân từng phần:
\[
u = 2e^x, \quad dv = \sec^2 x \, dx,
\]
\[
du = 2e^x \, dx, \quad v = \tan x.
\]
Áp dụng công thức tích phân từng phần:
\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du,
\]
ta có:
\[
\int 2e^x \sec^2 x \, dx = 2e^x \tan x - \int 2e^x \tan x \, dx.
\]
Để tính tích phân này, ta có thể tiếp tục áp dụng phương pháp tích phân từng phần hoặc tìm nguyên hàm của dạng này qua các biến đổi khác.

Cuối cùng, nguyên hàm của hàm ban đầu là tổng của các nguyên hàm đã tính.

Từ đó, kết quả chính sẽ là:
\[
\int \frac{e^x \left( 2 + e^{-x} \right)}{\cos^2 x} \, dx = 2e^x \tan x - \int 2e^x \tan x \, dx + \tan x + C,
\]
trong đó \( C \) là hằng số tích phân.