Gọi số mà bạn Nam nghĩ ra là \( x \). Theo đề bài, ta có các điều kiện sau:

1. \( x - 8 \) chia hết cho 7, tức là \( x - 8 \equiv 0 \mod 7 \).
2. \( x - 9 \) chia hết cho 8, tức là \( x - 9 \equiv 0 \mod 8 \).
3. \( x - 10 \) chia hết cho 9, tức là \( x - 10 \equiv 0 \mod 9 \).

Ta có thể viết lại các điều kiện này như sau:

1. \( x \equiv 8 \mod 7 \) (tức là \( x \equiv 1 \mod 7 \))
2. \( x \equiv 9 \mod 8 \) (tức là \( x \equiv 1 \mod 8 \))
3. \( x \equiv 10 \mod 9 \) (tức là \( x \equiv 1 \mod 9 \))

Từ ba điều kiện trên, ta thấy rằng \( x \equiv 1 \mod 7, 8, 9 \). Bây giờ ta sẽ tìm số thỏa mãn các điều kiện này.

Ta tìm bội chung nhỏ nhất của 7, 8 và 9:

- \( \text{LCM}(7, 8) = 56 \)
- \( \text{LCM}(56, 9) = 504 \)

Vậy, số cần tìm sẽ có dạng:

\[
x = 504k + 1
\]

với \( k \) là số nguyên không âm.

Vì \( x \) cần có 3 chữ số, ta tìm \( k \) sao cho:

\[
100 \leq 504k + 1 < 1000
\]

Giải bất phương trình:

1. \( 504k + 1 \geq 100 \)
- \( 504k \geq 99 \)
- \( k \geq \frac{99}{504} \approx 0.1964 \) nên \( k \geq 1 \)

2. \( 504k + 1 < 1000 \)
- \( 504k < 999 \)
- \( k < \frac{999}{504} \approx 1.9804 \) nên \( k \leq 1 \)

Vì vậy, \( k = 1 \).

Thay \( k = 1 \) vào công thức:

\[
x = 504 \cdot 1 + 1 = 505
\]

Kiểm tra các điều kiện:

1. \( 505 - 8 = 497 \) và \( 497 \div 7 = 71 \) (chia hết).
2. \( 505 - 9 = 496 \) và \( 496 \div 8 = 62 \) (chia hết).
3. \( 505 - 10 = 495 \) và \( 495 \div 9 = 55 \) (chia hết).

Vậy số mà bạn Nam nghĩ ra là **505**.