Để chứng minh tam giác MAN là tam giác đều, ta sẽ sử dụng một số tính chất của tiếp tuyến và hình học.

Đầu tiên, ta biết rằng đoạn tiếp tuyến AM và AN từ điểm A đến đường tròn (O) có các tính chất sau:

1. Đoạn tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm:
- \(AM \perp OM\) và \(AN \perp ON\) với O là tâm của đường tròn, M và N là các tiếp điểm.

2. Các đoạn tiếp tuyến từ một điểm đến một đường tròn là bằng nhau:
- \(AM = AN\).

Giả sử góc MAN = 60°, chúng ta có thể lập luận như sau:
- Từ A, vẽ các đoạn AM và AN. Theo định lý về tiếp tuyến, ta có:
\[
AM = AN.
\]
- Xét tam giác AMN:
- Có \(AM = AN\) (do các đoạn tiếp tuyến bằng nhau).
- Góc MAN = 60° (theo giả thiết).

Dựa vào định nghĩa của tam giác đều, để tam giác MAN là tam giác đều, thì không chỉ điều kiện \(AM = AN\) mà còn cần \(MN = AM\) (có nghĩa là tất cả các cạnh đều bằng nhau).

Xét tam giác vuông AMO và ANO:
- Do \(AM \perp OM\) và \(AN \perp ON\) nên ta có:
\[
\angle AMO = \angle ANO = 90°.
\]

Xét tam giác AMN, có:
\[
\angle AMN = \angle ANM = 90° - \angle MAN = 90° - 60° = 30°.
\]

Vì vậy, trong tam giác AMN (gọi là tam giác vuông tại M và N), có:
- \(AM = AN\) và các góc AMN, ANM bằng 30°.

Suy ra, các cạnh đối diện với các góc 30° là bằng nhau:
- Nghĩa là: \(MN = AM\).

Từ đó, ta có ba cạnh của tam giác MAN đều bằng nhau:
\[
AM = AN = MN.
\]

Kết luận, tam giác MAN là một tam giác đều.