Để tìm các số nguyên dương \( x \) và \( y \) thỏa mãn phương trình:

\[
4x^2 + 4x + y^2 - 6y = 24
\]

Chúng ta có thể thực hiện theo các bước sau:

1. **Chuyển phương trình về dạng thuận tiện**:
\[
y^2 - 6y + 4x^2 + 4x = 24
\]
Đặt \( y^2 - 6y \) ở bên trái, ta có thể hoàn thành bình phương cho \( y \):
\[
y^2 - 6y = (y - 3)^2 - 9
\]
Thay vào phương trình ta được:
\[
(y - 3)^2 - 9 + 4x^2 + 4x = 24
\]
Sắp xếp lại:
\[
4x^2 + 4x + (y - 3)^2 = 33
\]

2. **Giải phương trình với các giá trị của \( x \)**:
Chúng ta sẽ tìm các giá trị nguyên dương cho \( x \) và tương ứng tìm giá trị của \( y \).

3. **Tính giá trị cho từng \( x \)**:
- Khi \( x = 1 \):
\[
4(1^2) + 4(1) + (y - 3)^2 = 33 \implies 4 + 4 + (y - 3)^2 = 33 \implies (y - 3)^2 = 25 \implies y - 3 = 5 \text{ hoặc } -5
\]
=> \( y = 8 \) (chỉ nhận giá trị dương).

- Khi \( x = 2 \):
\[
4(2^2) + 4(2) + (y - 3)^2 = 33 \implies 16 + 8 + (y - 3)^2 = 33 \implies (y - 3)^2 = 9 \implies y - 3 = 3 \text{ hoặc } -3
\]
=> \( y = 6 \).

- Khi \( x = 3 \):
\[
4(3^2) + 4(3) + (y - 3)^2 = 33 \implies 36 + 12 + (y - 3)^2 = 33 \implies (y - 3)^2 = -15
\]
Không có nghiệm.

- Khi \( x \geq 4 \):
\( 4x^2 + 4x \) vượt quá 33 nên không có nghiệm dương.

4. **Giải nghiệm thu được**:
Các cặp số nguyên dương \( (x, y) \) thỏa mãn phương trình là:
- \( (1, 8) \)
- \( (2, 6) \)

Vậy, các số nguyên dương \( x, y \) thỏa mãn phương trình là \( (1, 8) \) và \( (2, 6) \).