Để tính biểu thức \( 999^2 + 2 \times 1999 + 11 \) và \( 1999^2 + 2 \times 1999 + 1 \), ta sẽ tìm hiểu từng phần của biểu thức, bắt đầu với biểu thức thứ hai.

### Biểu thức thứ hai:
\[ 1999^2 + 2 \times 1999 + 1 \]

Ta nhận thấy rằng đây là biểu thức có thể được viết theo dạng bình phương của một số:
\[
1999^2 + 2 \times 1999 + 1 = (1999 + 1)^2
\]
Do đó:
\[
(1999 + 1)^2 = 2000^2 = 4000000
\]

### Biểu thức thứ nhất:
\[ 999^2 + 2 \times 1999 + 11 \]

Chúng ta sẽ sử dụng kết quả của biểu thức thứ hai:
\[
1999 = 1000 - 1 \implies 2 \times 1999 = 2 \times (1000 - 1) = 2000 - 2
\]
Khi thay vào biểu thức, ta có:
\[
999^2 + (2000 - 2) + 11 = 999^2 + 2000 + 9
\]

Bây giờ ta sẽ tính \( 999^2 \):
\[
999^2 = (1000 - 1)^2 = 1000^2 - 2 \times 1000 + 1 = 1000000 - 2000 + 1 = 998001
\]

Thay kết quả \( 999^2 \) vào biểu thức chúng ta tìm được:
\[
999^2 + 2000 + 9 = 998001 + 2000 + 9 = 998001 + 2009 = 1000010
\]

### Tổng kết
Vậy kết quả cuối cùng của các biểu thức là:
- \( 999^2 + 2 \times 1999 + 11 = 1000010 \)
- \( 1999^2 + 2 \times 1999 + 1 = 4000000 \)