Để chứng minh các kết quả trong bài toán đã cho, ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần một.

### a) Chứng minh DE // BC

1. Do ΔABC là tam giác cân tại A, ta có AB = AC.
2. Với các điểm D, E trên các cạnh AB và AC sao cho BD = CE, ta có BD = CE.
3. Theo định lý về tỷ lệ các cạnh trong tam giác, ta có ΔABD ~ ΔACE (vì AB = AC, BD = CE, và góc A chung).
4. Từ đó suy ra DE // BC, vì hai tam giác đồng dạng có các cạnh tương ứng tỷ lệ với nhau.

### b) Chứng minh ΔABE = ΔACD

1. Từ một phần đã chứng minh ở trên, ta có BD = CE và AB = AC.
2. Góc A chung cho cả hai tam giác.
3. Do đó, theo tiêu chuẩn đồng dạng tam giác (Cạnh – Cạnh – Cạnh), ta có ΔABE ≈ ΔACD.

### c) Chứng minh ΔBID = ΔCIE

1. Từ ΔABE = ΔACD, ta có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau.
2. Biết rằng BI = CI (do I là giao điểm của BE và CD), BD = CE.
3. Do đó, ΔBID = ΔCIE.

### d) Chứng minh AI là phần giác của BAC

1. AI là đường trung tuyến trong tam giác ABC.
2. Từ chứng minh ở phần (a), vì DE // BC, nên AI chính là trung đoạn từ A đến BC.
3. Do đó, AI là phần giác của BAC.

### e) Chứng minh AI ⊥ BC

1. Vì DE // BC và AI là đường trung tuyến, ta có AI ⊥ BC.
2. Do tính chất của đường trung tuyến trong tam giác cân, AI vuông góc với BC.

Tóm lại, tất cả các kết luận trong bài toán đã được chứng minh dựa trên các tính chất của tam giác cân.