Giả sử vòi thứ nhất chảy đầy bể trong \( x \) giờ. Theo đề bài, vòi thứ hai chảy đầy bể trong \( x + 2 \) giờ.

**Bước 1: Tính tốc độ chảy của mỗi vòi.**

- Tốc độ của vòi thứ nhất: \( \frac{1}{x} \) (bể/giờ)
- Tốc độ của vòi thứ hai: \( \frac{1}{x + 2} \) (bể/giờ)

**Bước 2: Tính thời gian chảy cùng nhau.**

Thời gian để hai vòi cùng chảy đầy bể là \( 2 \) giờ \( 24 \) phút, tức là \( 2 + \frac{24}{60} = 2.4 \) giờ.

Tổng tốc độ chảy của hai vòi khi cùng mở là:

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2}
\]

Thời gian chảy theo công thức là:

\[
\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} \right) \cdot 2.4 = 1
\]

**Bước 3: Giải phương trình.**

Nhân cả hai vế với \( x(x + 2) \) để bỏ mẫu số:

\[
(2.4)(x + 2) + (2.4)x = x(x + 2)
\]

Sắp xếp lại:

\[
2.4x + 4.8 + 2.4x = x^2 + 2x
\]

\[
4.8x + 4.8 = x^2 + 2x
\]

Chuyển tất cả về một phía:

\[
x^2 - 2.8x - 4.8 = 0
\]

**Bước 4: Sử dụng công thức nghiệm**

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Với \( a = 1, b = -2.8, c = -4.8 \):

\[
x = \frac{2.8 \pm \sqrt{(-2.8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4.8)}}{2 \cdot 1}
\]
\[
= \frac{2.8 \pm \sqrt{7.84 + 19.2}}{2}
\]
\[
= \frac{2.8 \pm \sqrt{27.04}}{2}
\]
\[
= \frac{2.8 \pm 5.2}{2}
\]

**Nghiệm:**

1. \( x = \frac{8}{2} = 4 \)
2. \( x = \frac{-2.4}{2} \) (không có nghĩa)

Vậy \( x = 4 \) giờ (vòi thứ nhất).

**Bước 5: Tìm thời gian của vòi thứ hai:**

Vòi thứ hai chảy đầy bể trong:

\[
x + 2 = 6 \text{ giờ}
\]

**Kết luận:**
- Vòi thứ nhất chảy đầy bể trong 4 giờ.
- Vòi thứ hai chảy đầy bể trong 6 giờ.