Để tính kết quả của phép tính \( 1 + \frac{2}{3} \), ta có thể quy đổi số 1 thành \(\frac{3}{3}\) để có cùng mẫu số.

Vậy:

\[
1 + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}
\]

Vậy kết quả của phép tính là \(\frac{5}{3}\), nên đáp án đúng là lựa chọn D.