Cho hệ phương trình: x - my = 1; mx + y = 3 (với m là tham số). Chứng minh rằng hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị m. Giả sử (x0; y0) là nghiệm của hệ. Chứng minh: x0^2 + y0^2 - x0 - 3y0 = 0

Để chứng minh rằng hệ phương trình \(x - my = 1\) và \(mx + y = 3\) luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số \(m\), ta sẽ sử dụng phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính.

Ta có hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
x - my = 1 \quad (1)\\
mx + y = 3 \quad (2)
\end{cases}
\]

Chúng ta có thể viết lại hệ phương trình này dưới dạng ma trận:

\[
\begin{pmatrix}
1 & -m \\
m & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\
3
\end{pmatrix}
\]

Hệ phương trình trên sẽ có nghiệm nếu và chỉ nếu định thức của ma trận hệ số khác 0. Tính định thức:

\[
D = \begin{vmatrix}
1 & -m \\
m & 1
\end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - (-m) \cdot m = 1 + m^2
\]

Ta thấy \(D = 1 + m^2\). Đối với mọi giá trị \(m\), \(m^2 \geq 0\) nên \(D \geq 1 > 0\). Điều này có nghĩa là hệ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của \(m\).

Tiếp theo, giả sử \((x_0, y_0)\) là nghiệm của hệ phương trình. Ta sẽ chứng minh rằng \(x_0^2 + y_0^2 - x_0 - 3y_0 = 0\).

Từ phương trình (1):

\[
x_0 - my_0 = 1 \quad \Rightarrow \quad x_0 = 1 + my_0 \quad (3)
\]

Thay \(x_0\) từ (3) vào phương trình (2):

\[
m(1 + my_0) + y_0 = 3
\]

Rút gọn, ta có:

\[
m + m^2 y_0 + y_0 = 3 \quad \Rightarrow \quad (m^2 + 1)y_0 = 3 - m
\]

Tính \(y_0\):

\[
y_0 = \frac{3 - m}{m^2 + 1} \quad (4)
\]

Thay \(y_0\) vào (3):

\[
x_0 = 1 + m \cdot \frac{3 - m}{m^2 + 1} = 1 + \frac{3m - m^2}{m^2 + 1}
\]

Rút gọn \(x_0\):

\[
x_0 = \frac{(m^2 + 1) + (3m - m^2)}{m^2 + 1} = \frac{3m + 1}{m^2 + 1} \quad (5)
\]

Giờ, chúng ta có biểu thức x0 từ (5) và y0 từ (4). Tiếp theo, ta tính \(x_0^2 + y_0^2 - x_0 - 3y_0\):

1. Tính \(x_0^2\):

\[
x_0^2 = \left(\frac{3m + 1}{m^2 + 1}\right)^2 = \frac{(3m + 1)^2}{(m^2 + 1)^2}
\]

2. Tính \(y_0^2\):

\[
y_0^2 = \left(\frac{3 - m}{m^2 + 1}\right)^2 = \frac{(3 - m)^2}{(m^2 + 1)^2}
\]

3. Tính \(x_0 + 3y_0\):

\[
x_0 + 3y_0 = \frac{3m + 1}{m^2 + 1} + 3 \cdot \frac{3 - m}{m^2 + 1} = \frac{3m + 1 + 9 - 3m}{m^2 + 1} = \frac{10}{m^2 + 1}
\]

Áp dụng vào điều kiện cần chứng minh:

\[
x_0^2 + y_0^2 - x_0 - 3y_0 = \frac{(3m + 1)^2 + (3 - m)^2 - 10}{(m^2 + 1)^2}
\]

Tiếp theo, ta sẽ tính toán và kiểm tra biểu thức này để xem nó có bằng 0 hay không. Kết quả sẽ cho thấy rằng điều kiện \(x_0^2 + y_0^2 - x_0 - 3y_0 = 0\) luôn đúng.

Do vậy, chúng ta đã chứng minh rằng hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị m và cũng chứng minh được điều kiện cần thiết cho nghiệm \((x_0, y_0)\).