Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 + xy + 1 = 4y \quad (1) \\
y(x+y)^2 = 2x^2 + 7y + 2 \quad (2)
\end{cases}
\]

Chúng ta có thể bắt đầu từ phương trình (1).

### Phương trình (1)

Chúng ta có:
\[
x^2 + y^2 + xy + 1 - 4y = 0
\]
Điều này có thể được sắp xếp lại thành:
\[
x^2 + y^2 + xy - 4y + 1 = 0
\]

### Phương trình (2)

Từ phương trình (2):
\[
y(x+y)^2 = 2x^2 + 7y + 2
\]
Ta có thể mở rộng bên trái:
\[
y(x^2 + 2xy + y^2) = 2x^2 + 7y + 2
\]
Hoặc viết như sau:
\[
yx^2 + 2y^2x + y^3 = 2x^2 + 7y + 2
\]

### Giải hệ

Từ phương trình (1), chúng ta có thể tìm giá trị của \( y \) theo \( x \). Sau đó thế vào phương trình (2) để tìm \( x \) và \( y \).

#### Tìm \( y \) từ (1)

Giả sử \( y \) là một hàm số của \( x \):
\[
y = \frac{x^2 + y^2 + xy + 1}{4}
\]

Tuy nhiên, để giải nhanh hơn, hãy thử một vài giá trị của \( x \) và \( y \) thực tế. Giả sử \( y = 1 \):
1. Thay vào (1):
\[
x^2 + 1^2 + x \cdot 1 + 1 = 4 \cdot 1 \implies x^2 + x + 2 = 4 \implies x^2 + x - 2 = 0
\]
Phương trình này có nghiệm:
\[
(x - 1)(x + 2) = 0 \implies x = 1 \text{ hoặc } x = -2
\]

2. Kiểm tra từng giá trị với phương trình (2):
- Với \( (1, 1) \):
\[
1(1+1)^2 = 2 \cdot 1^2 + 7 \cdot 1 + 2 \implies 1 \cdot 4 = 2 + 7 + 2 \implies 4 = 11 \text{ (sai)}
\]

- Với \( (-2, 1) \):
\[
1(-2+1)^2 = 2(-2)^2 + 7 \cdot 1 + 2 \implies 1 \cdot 1 = 8 + 7 + 2 \implies 1 = 17 \text{ (sai)}
\]

Cứ tiếp tục kiểm tra, giả sử \( y = 2 \):
1. Thay vào (1):
\[
x^2 + 2^2 + 2x + 1 = 4 \cdot 2 \implies x^2 + 4 + 2x + 1 = 8 \implies x^2 + 2x - 3 = 0
\]
Phương trình này có nghiệm:
\[
(x - 1)(x + 3) = 0 \implies x = 1 \text{ hoặc } x = -3
\]

2. Kiểm tra từng giá trị với phương trình (2):
- Với \( (1, 2) \):
\[
2(1 + 2)^2 = 2 \cdot 1^2 + 7 \cdot 2 + 2 \implies 2 \cdot 9 = 2 + 14 + 2 \implies 18 = 18 \text{ (đúng)}
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (1, 2) \).