Để phân tích thành nhân tử biểu thức \( 9x^2 + 6xy - 8y^2 \), chúng ta sẽ tìm các hệ số phù hợp và sử dụng quy tắc phân tích thành nhân tử cho tam thức bậc hai.

Biểu thức có dạng \( ax^2 + bxy + cy^2 \), với các hệ số:

- \( a = 9 \)
- \( b = 6 \)
- \( c = -8 \)

Chúng ta cần tìm hai số \( p \) và \( q \) sao cho:

1. \( p + q = b = 6 \)
2. \( pq = ac = 9 \cdot (-8) = -72 \)

Bây giờ, ta sẽ tìm hai số \( p \) và \( q \) thỏa mãn các điều kiện trên.

Ta thấy rằng \( p = 12 \) và \( q = -6 \) là hai số thỏa mãn vì:

- \( 12 + (-6) = 6 \)
- \( 12 \cdot (-6) = -72 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ viết lại biểu thức ban đầu:

\[
9x^2 + 12xy - 6xy - 8y^2
\]

Tiếp theo, nhóm các hạng tử lại:

\[
(9x^2 + 12xy) + (-6xy - 8y^2)
\]

Tiến hành phân tích từng nhóm:

\[
3x(3x + 4y) - 2y(3x + 4y)
\]

Giờ đây, chúng ta có thể thấy \( (3x + 4y) \) là một yếu tố chung:

\[
(3x + 4y)(3x - 2y)
\]

Vậy nên, biểu thức \( 9x^2 + 6xy - 8y^2 \) phân tích thành nhân tử là:

\[
(3x + 4y)(3x - 2y)
\]