Để chứng minh các đẳng thức và tính chất trong bài toán này, ta sẽ sử dụng tính chất của hình bình hành và các định lý về trung điểm.

### a) Chứng minh:
1. **Chứng minh BE = DF**:
- Hình bình hành \(ABCD\) có các cạnh đối song song và bằng nhau: \(AB = CD\) và \(AD = BC\).
- E là trung điểm của \(AD\) và F là trung điểm của \(BC\).
- Do đó, \(AE = ED\) và \(BF = FC\).
- Từ hình bình hành, ta có:
\[
BE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD = DF
\]
=> Suy ra \(BE = DF\).

2. **Chứng minh \(\angle ABE = \angle CDF\)**:
- Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\angle ABE = \angle BCD\) (cùng là các góc đối).
- Tương tự, \(\angle CDF = \angle DAB\).
- Do đó, vì hai góc đối ở hai bên của đoạn thẳng \(EF\) nên \(\angle ABE = \angle CDF\).

### b) Chứng minh \(BE \parallel FD\):
- Từ lời chứng minh trên, ta có:
- \(BE\) và \(DF\) cùng song song với đường thẳng \(EF\) (đường thẳng nối hai trung điểm của hai đoạn thẳng trong hình bình hành).
- Theo định lý về hai đoạn thẳng song song, khi hai đoạn thẳng cùng song song với một đoạn thẳng thứ ba, thì chúng cũng song song với nhau.
- Vậy \(BE \parallel FD\).

Từ đó, ta đã hoàn thành chứng minh yêu cầu của bài toán.