Để tính tổng \( S = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} + \frac{1}{56} + \frac{1}{72} \), ta có thể tìm mẫu số chung.

Mẫu số chung nhỏ nhất của các mẫu số này là 2520, vì 2520 chia hết cho tất cả các mẫu số: 2, 6, 12, 30, 42, 56, và 72.

Bây giờ ta sẽ quy đổi từng phân số về mẫu số 2520:

\[
\frac{1}{2} = \frac{1260}{2520}
\]

\[
\frac{1}{6} = \frac{420}{2520}
\]

\[
\frac{1}{12} = \frac{210}{2520}
\]

\[
\frac{1}{30} = \frac{84}{2520}
\]

\[
\frac{1}{42} = \frac{60}{2520}
\]

\[
\frac{1}{56} = \frac{45}{2520}
\]

\[
\frac{1}{72} = \frac{35}{2520}
\]

Bây giờ, cộng lại các phân số đã quy đổi:

\[
S = \frac{1260 + 420 + 210 + 84 + 60 + 45 + 35}{2520}
\]

Tính tổng các tử số:

\[
1260 + 420 = 1680
\]
\[
1680 + 210 = 1890
\]
\[
1890 + 84 = 1974
\]
\[
1974 + 60 = 2034
\]
\[
2034 + 45 = 2079
\]
\[
2079 + 35 = 2114
\]

Vậy tổng tử số là 2114, do đó:

\[
S = \frac{2114}{2520}
\]

Giảm phân số này về dạng đơn giản. Một số cách kiểm tra có thể làm là kiểm tra 2114 và 2520 có chia hết cho số nào không. Có thể nhận thấy rằng \( 2114 \) và \( 2520 \) không có ước chung nào lớn hơn 1.

Do đó, tổng cuối cùng là:

\[
S = \frac{2114}{2520}
\]

Khi này 2114 không chia hết cho 2, vì vậy tổng này đã ở dạng tối giản.

Nếu bạn muốn kết quả xấp xỉ thập phân, ta có:

\[
S \approx 0.8387
\]

Như vậy, tổng \( S = \frac{2114}{2520} \) hoặc xấp xỉ 0.8387.