Gọi số học sinh khối 6 của trường A là \( n \). Theo đề bài, \( n \) thừa 1 người khi xếp hàng 4, hàng 5 và hàng 6, có thể biểu diễn bằng các phương trình sau:

\[
n \equiv 1 \mod 4
\]
\[
n \equiv 1 \mod 5
\]
\[
n \equiv 1 \mod 6
\]

Các phương trình này có thể được hợp nhất thành một hệ như sau:

\[
n - 1 \equiv 0 \mod 4
\]
\[
n - 1 \equiv 0 \mod 5
\]
\[
n - 1 \equiv 0 \mod 6
\]

Điều này có nghĩa là \( n - 1 \) là bội chung nhỏ nhất (BCNN) của 4, 5 và 6.

Trước tiên, ta tính BCNN của 4, 5 và 6:

- Bội chung nhỏ nhất của 4 và 5 là 20.
- Bội chung nhỏ nhất của 20 và 6 là 60.

Do đó, ta có:

\[
n - 1 = 60k \quad \text{với } k \text{ là một số nguyên}
\]

Suy ra:

\[
n = 60k + 1
\]

Vì \( n \) nằm trong khoảng từ 200 đến 300, ta có:

\[
200 \leq 60k + 1 \leq 300
\]

Trừ 1 ở hai vế:

\[
199 \leq 60k \leq 299
\]

Chia hết cho 60:

\[
\frac{199}{60} \leq k \leq \frac{299}{60}
\]

Tính toán giá trị của \( k \):

\[
\frac{199}{60} \approx 3.3167 \quad \text{và} \quad \frac{299}{60} \approx 4.9833
\]

Vậy \( k \) chỉ có thể nhận giá trị là 4 (vì \( k \) là số nguyên). Thay \( k = 4 \) vào công thức:

\[
n = 60 \cdot 4 + 1 = 240 + 1 = 241
\]

Kiểm tra các điều kiện:

- \( 241 \mod 4 = 1 \)
- \( 241 \mod 5 = 1 \)
- \( 241 \mod 6 = 1 \)

Vậy số học sinh khối 6 của trường A là \( \boxed{241} \).