Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng thông tin về thời gian hoàn thành công việc của từng đội và mối quan hệ giữa số lượng công nhân của các đội.

Gọi:
- \( N_1 \): số người của đội I
- \( N_2 \): số người của đội II
- \( N_3 \): số người của đội III
- \( x \): khối lượng công việc (được tính bằng công)

Theo đề bài, cả 3 đội đều hoàn thành cùng một công việc, do đó ta có thể tính tổng số công trong từng đội.

1. **Công việc của đội I**:
- Thời gian hoàn thành: 5 ngày
- Tổng công: \( N_1 \times 5 \)

2. **Công việc của đội II**:
- Thời gian hoàn thành: 6 ngày
- Tổng công: \( N_2 \times 6 \)

3. **Công việc của đội III**:
- Thời gian hoàn thành: 8 ngày
- Tổng công: \( N_3 \times 8 \)

Vì tổng công là như nhau, ta có:
\[
N_1 \times 5 = N_2 \times 6 = N_3 \times 8
\]

Từ đó, chúng ta có thể đặt:
\[
N_1 \times 5 = N_2 \times 6 = N_3 \times 8 = k
\]
với \( k \) là khối lượng công.

Suy ra:
\[
N_1 = \frac{k}{5}, \quad N_2 = \frac{k}{6}, \quad N_3 = \frac{k}{8}
\]

Tiếp theo, từ mối quan hệ giữa số người ở đội I và đội III:
\[
N_1 = N_3 + 18
\]

Thay giá trị \( N_1 \) và \( N_3 \) vào:
\[
\frac{k}{5} = \frac{k}{8} + 18
\]

Giải phương trình này:
\[
\frac{k}{5} - \frac{k}{8} = 18
\]

Tìm mẫu số chung (40):
\[
\frac{8k - 5k}{40} = 18
\]
\[
\frac{3k}{40} = 18
\]

Nhân chéo:
\[
3k = 720 \implies k = 240
\]

Thay giá trị \( k \) về số người trong từng đội:
\[
N_1 = \frac{240}{5} = 48
\]
\[
N_2 = \frac{240}{6} = 40
\]
\[
N_3 = \frac{240}{8} = 30
\]

Vậy:
- Đội I có 48 người
- Đội II có 40 người
- Đội III có 30 người

Kết luận:
- Đội I có 48 người.