Để chứng minh rằng \( BN = DM \) trong hình bình hành \( ABCD \) với các đường vuông góc như trong đề bài, ta thực hiện các bước như sau:

1. **Xác định điểm và hình học**:
- Gọi \( E \) và \( N \) là các điểm nằm trên các đoạn thẳng vuông góc \( BM \) và \( DN \) với \( AC \).
- \( M \) là điểm trên đoạn \( AC \).

2. **Sử dụng tính chất của hình bình hành**:
- Trong hình bình hành, các cạnh đối diện bằng nhau (tức là \( AB = CD \) và \( AD = BC \)).
- Ngoài ra, các đường chéo \( AC \) và \( BD \) cắt nhau tại trung điểm của cả hai.

3. **Chứng minh bằng tam giác vuông**:
- Vì \( BM \) vuông góc với \( AC \) và \( DN \) cũng vuông góc với \( AC \), thì \( \triangle BMN \) và \( \triangle DMN \) đều là tam giác vuông tại \( M \).
- Ta có:
- \( BN \) là chiều cao từ \( B \) xuống \( AC \).
- \( DM \) là chiều cao từ \( D \) xuống \( AC \).

4. **Sử dụng định lý Pitago**:
- Do tính chất đối xứng của hình bình hành, ta có thể kết luận rằng khoảng cách \( BN \) từ đỉnh \( B \) đến đường chéo \( AC \) sẽ bằng khoảng cách \( DM \) từ đỉnh \( D \) đến đường chéo \( AC \).

5. **Kết luận**:
- Vậy \( BN = DM \) như đề bài đã yêu cầu.

Hy vọng các bước giải thích trên giúp bạn hiểu rõ hơn về cách chứng minh trong hình bình hành!