Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC. Trên tia đối MA lấy điểm D từ D kẻ đường thẳng vuông góc với AB, AC lần lượt tại E, F. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với MF tại N. Chứng minh góc AND=45 độ

Để chứng minh rằng góc AND = 45 độ trong tam giác ABC vuông cân tại A với các điểm đã cho, ta sẽ làm theo các bước dưới đây:

1. **Xác định toạ độ của các điểm**:
- Giả sử \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \) và \( C(0, a) \).
- Do đó, \( M \) là trung điểm của \( BC \) nên \( M\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right) \).
- Điểm \( D \) sẽ nằm trên tia đối của đường thẳng \( MA \), có thể chọn \( D \) là \( D\left(\frac{a}{2}, -d\right) \) với \( d > 0 \).

2. **Tìm tọa độ của các điểm E, F**:
- Kẻ đường thẳng vuông góc với \( AB \) (trục hoành) tại \( E \) sẽ có tọa độ là \( E(a, y_E) \) với \( y_E \) = giá trị mà \( DE \) giao với trục tung.
- Tương tự, kẻ đường thẳng vuông góc với \( AC \) (trục tung) tại \( F \) sẽ có tọa độ là \( F(x_F, a) \) với \( x_F \) = giá trị mà \( DF \) giao với trục hoành.

3. **Xác định phương trình của MF**:
- Từ điểm \( M \) tới điểm \( F \) thì phương trình đường thẳng này sẽ có độ dốc là \( \frac{a - \frac{a}{2}}{0 - \frac{a}{2}} = -1 \).
- Vậy phương trình của MF là: \( y - \frac{a}{2} = -1(x - \frac{a}{2}) \).

4. **Tìm tọa độ điểm N**:
- Kẻ một đường thẳng vuông góc với MF tại E, tức là đường thẳng đi qua E có độ dốc là \( 1 \) (đường vuông góc với độ dốc \(-1\)).
- Phương trình này sẽ là \( y - y_E = (x - a) \).

5. **Chứng minh góc AND = 45 độ**:
- Từ các phương trình trên, ta có thể tìm ra độ dốc của đường thẳng AN (đi qua A và N).
- Vì cả hai đường thẳng AE và AN có độ dốc bằng nhau (1), nên ta có:
\[
\tan \angle AND = \left| \frac{\text{độ dốc của AN} - \text{độ dốc của ND}}{1 + \text{độ dốc của AN} \cdot \text{độ dốc của ND}} \right|
\]
- Nếu độ dốc của ND là -1 (vuông góc với AE), ta sẽ thấy rằng
\[
\tan(45 độ) = 1.
\]
Điều này có nghĩa là góc AND đúng là 45 độ do đó ta có thể kết luận.

Tóm lại, thông qua các bước hoàn thiện này, ta có thể chứng minh rằng góc AND = 45 độ.