Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm \( AA = x^2 + 6x + 12 \), chúng ta có thể sử dụng công thức hoàn thành bình phương.

Bắt đầu với hàm số:

\[
AA = x^2 + 6x + 12
\]

Chúng ta sẽ hoàn thành bình phương cho phần \( x^2 + 6x \):

1. Lấy hệ số của \( x \) ở phần \( x^2 + 6x \) (là 6), chia đôi và bình phương nó:

\[
\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 3^2 = 9
\]

2. Thêm và bớt 9 trong biểu thức:

\[
AA = (x^2 + 6x + 9) + 12 - 9
\]

3. Viết lại biểu thức:

\[
AA = (x + 3)^2 + 3
\]

Hàm số \( (x + 3)^2 \) luôn không âm và có giá trị nhỏ nhất là 0, xảy ra khi \( x + 3 = 0 \) tức là \( x = -3 \).

Khi \( x = -3 \):

\[
AA = 0 + 3 = 3
\]

Vậy, giá trị nhỏ nhất của \( AA \) là:

\[
\boxed{3}
\]