Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần theo các yêu cầu.

**a. Chứng minh: \( DN \perp CM \)**

1. Gọi A(0, a), B(a, a), C(a, 0), D(0, 0).
2. Trung điểm M của AB là \( M\left(\frac{a}{2}, a\right) \) và N của BC là \( N\left(a, \frac{a}{2}\right) \).
3. Xét đường thẳng DN:
- Điểm D(0, 0) và N(a, \(\frac{a}{2}\)) xác định phương trình đường thẳng DN.
4. Xét đường thẳng CM:
- Điểm C(a, 0) và M(\(\frac{a}{2}, a\)) xác định phương trình đường thẳng CM.
5. Tính hệ số góc của DN và CM. Nếu tích hai hệ số góc này bằng -1, ta có \( DN \perp CM \).

**b. Chứng minh: \( AD + CE = AE \)**

1. Tính độ dài \( AD \), \( CE \), và \( AE \):
- \( AD = a \) (độ dài cạnh hình vuông).
- \( CE = \sqrt{(a - 0)^2 + (0 - a)^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \).
2. Tính độ dài đoạn thẳng AE với tọa độ tương ứng.
3. So sánh \( AD + CE \) với \( AE \) để kiểm tra tính chất này.

**c. Chứng minh \( IH = IK \)**

1. Kẻ HK vuông góc với DC tại K.
2. Xác định tọa độ H (giao điểm của AH và BC) và K từ phương trình đường thẳng.
3. Tính khoảng cách IH và IK:
- Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong tọa độ.
4. So sánh IH và IK.

Tóm lại, để bịt các điểm quan trọng trong mặt phẳng, bạn cần áp dụng tọa độ và công thức hình học.