Để chứng minh rằng \( \angle AOH = \angle BOK \), ta có thể thực hiện theo các bước sau:

1. **Giả thiết**:
- Gọi \( H \) và \( K \) là các điểm thuộc đường thẳng \( xy \) sao cho \( AH \perp xy \) tại \( H \) và \( BK \perp xy \) tại \( K \).
- Đoạn thẳng \( AH = BK \) và \( O \) là trung điểm của đoạn thẳng \( HK \).

2. **Tính chất vuông góc**:
- Vì \( AH \perp xy \) và \( BK \perp xy \), nên \( AH \) và \( BK \) đều tạo ra các góc vuông với \( xy \).
- Điều này có nghĩa là các tam giác \( AOH \) và \( BOK \) đều có một cạnh là đường thẳng vuông góc với \( xy \).

3. **Tính chất tam giác vuông**:
- Ta có \( O \) là trung điểm của đoạn thẳng \( HK \), nên \( OH = OK \).
- Độ dài \( AH = BK \) đã cho.

4. **Góc tương ứng**:
- Dựa vào Tama giác đồng dạng (giống nhau theo trường hợp tam giác vuông với cạnh huyền).
- Các tam giác \( AOH \) và \( BOK \) có độ dài hai cạnh là giống nhau và cũng có phân giác tương ứng là \( \angle AOH \) và \( \angle BOK \).

5. **Kết luận**:
- Do các tam giác này có hai cạnh tương ứng bằng nhau và một góc vuông chung (góc tính từ đường thẳng), ta có thể kết luận rằng:
\[
\angle AOH = \angle BOK.
\]
Qua đó, ta đã chứng minh được rằng \( AOH = BOK \).