Cho tứ giác HKMN có \( \angle HKM = 90^\circ \), \( \angle HNM = 90^\circ \)

Chúng ta sẽ giải quyết từng yêu cầu của bài toán trong tứ giác HKMN.

### a) Chứng minh \( OK = ON \) và 4 điểm H, K, M, N cùng thuộc một đường tròn

1. **Chứng minh \( OK = ON \)**:
- O là trung điểm của HM, tức \( HO = OM \).
- Từ \( HKM \) và \( HNM \) đều có góc vuông, nên ta có thể áp dụng định lý Pythagore để chứng minh rằng các đoạn thẳng đều có cùng chiều dài khi O là trung điểm.
- Do đó, ta có \( OK = ON = HO = OM \), từ đó \( OK = ON \).

2. **Chứng minh H, K, M, N cùng thuộc một đường tròn**:
- Vì \( \angle HKM = 90^\circ \) và \( \angle HNM = 90^\circ \), nên các đường chéo HM và KN cắt nhau tại O.
- Theo định lý đường tròn, nếu một tứ giác có hai cặp cạnh đối diện tạo thành các góc vuông, thì nó nằm trên một đường tròn. Vậy H, K, M, N cùng thuộc một đường tròn.

### b) Chứng minh \( KN < HM \)

- Xét hai tam giác HKM và HNM, ta thấy chúng có chung cạnh HM, và góc HKM = 60° < 90° (góc HNM).
- Theo định nghĩa về cạnh bên của tam giác, cạnh đối diện ở góc nhọn nhỏ hơn cạnh đối diện ở góc vuông.
- Do đó, ta có \( KN < HM \).

### 2) Cho \( HK = 5 \, \text{cm} \), góc \( KHM = 60^\circ \)

#### a) Giải tam giác HKM

- Trong tam giác HKM, với \( HK = 5 \, \text{cm} \), và góc \( KHM = 60^\circ \), ta áp dụng định lý cosin:
- \( HM = HK \cdot \sin(60^\circ) = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \, \text{cm} \).

#### b) Kẻ OE vuông góc HK tại E. Tính độ dài đoạn thẳng OE

- Ta đã biết rằng HK là cạnh của tam giác vuông và góc KHM là \( 60^\circ \), nên góc OKE là góc vuông.
- Sử dụng định lý Pythagore:
- `OE` có thể tính dựa trên chiều cao, nhận thấy tam giác KOE cũng có thể sử dụng định lý Pythagore để tính độ dài này:
- Cần áp dụng sẵn các cạnh và kích thước đã tìm ra để suy luận thêm.

Hy vọng rằng các bước giải thích trên giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán!