Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu.

### 1) Chứng minh \( \angle IBC + \angle ICB = \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB) \)

Gọi:
- \( \angle ABC = B \)
- \( \angle ACB = C \)
- \( \angle BAC = A = 80^\circ \)

Theo định lý về các góc ở một điểm, ta có:
\[
\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ
\]
Thay \( \angle A \) vào, ta có:
\[
80^\circ + B + C = 180^\circ \implies B + C = 100^\circ
\]

Khi \( BD \) và \( CE \) là hai đường phân giác, điểm \( I \) là giao điểm của chúng. Do đó:

\[
\angle IBC = \frac{1}{2}\angle ABC = \frac{1}{2}B
\]
\[
\angle ICB = \frac{1}{2}\angle ACB = \frac{1}{2}C
\]

Vậy ta có:
\[
\angle IBC + \angle ICB = \frac{1}{2}B + \frac{1}{2}C = \frac{1}{2}(B + C)
\]
Thay \( B + C = 100^\circ \) vào:
\[
\angle IBC + \angle ICB = \frac{1}{2}(100^\circ) = 50^\circ
\]

Tiếp theo, tính \( \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB) \):
\[
\frac{1}{2}(B + C) = \frac{1}{2}(B + C) = \frac{1}{2}(100^\circ) = 50^\circ
\]

Do đó:
\[
\angle IBC + \angle ICB = \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB)
\]

### 2) Tính \( CID \)

Xét tam giác \( ACI \):
- \( \angle ACI = \angle ACB + \angle ICB \)
- Theo tính chất đường phân giác, \( \angle ICB = \frac{1}{2}C \)

Suy ra:
\[
\angle ACI = C + \frac{1}{2}C = \frac{3}{2}C
\]

Từ tính chất \( B + C = 100^\circ \) ta có \( C = 100^\circ - B \).

Do đó để tính \( \angle CID \) trong tam giác \( ACI \):
- \( \angle ACI = \frac{3}{2}(100^\circ - B) \)

Vì vậy, ta tính được \( CID \) dựa trên \( B \) và các góc của tam giác \( ABC \).

Kết quả ở đây là phạm vi xác định các góc, và các đại lượng đều thể hiện mối quan hệ trong tam giác qua các đường phân giác.