Để giải bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a. Tính DC

Trong tam giác \( \triangle ABC \) nhọn, theo giả thiết ta có các thông tin sau:
- \( AB = 4 \) cm
- \( AC = 6 \) cm
- \( BD = 3 \) cm với \( D \) là giao điểm của phân giác \( AD \) cắt \( BC \).

Áp dụng Định lý phân giác cho tam giác \( \triangle ABC \):
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}
\]
Thay các giá trị đã cho vào công thức:
\[
\frac{4}{6} = \frac{3}{DC}
\]

Giải phương trình trên:
\[
\frac{2}{3} = \frac{3}{DC} \implies 2 \cdot DC = 3 \cdot 3 \implies 2DC = 9 \implies DC = \frac{9}{2} = 4.5 \text{ cm}
\]

### b. Tứ giác BMPN là hình gì và vì sao

- Gọi \( M, N, P \) lần lượt là trung điểm của \( BC, AB, AC \).
- Ta biết rằng \( D \) là giao điểm của phân giác \( AD \).

Tứ giác \( BMPN \) có các điểm:
- \( B \), \( M \): điểm trên \( AB \) và \( AC \).
- \( N \): trung điểm của \( AB \).
- \( P \): trung điểm của \( AC \).

**Tính chất của tứ giác BMPN**:
Do \( M, N, P \) là trung điểm nên có thể xét:
- \( BM \parallel PN \) và \( BP \parallel MN \) vì \( M, N, P \) là các trung điểm.
- Tứ giác BMPN là một hình bình hành, do hai cặp cạnh đối song song.

### c. Chứng minh \( NI \cdot PC = PI \cdot NB \)

Gọi \( I \) là giao điểm của phân giác \( AD \) và đoạn thẳng \( NP \).

Sử dụng định lý Menelaus cho tam giác \( \triangle BNP \) với \( I \) thuộc đoạn thẳng \( NP \):
- Ta có \( NI \) và \( PI \) thuộc cạnh \( NP \).
- Từ đó, suy ra được tỉ lệ:

Theo định lý Menelaus:
\[
\frac{BN}{NP} \cdot \frac{PI}{IB} \cdot \frac{AD}{DC} = 1
\]

Vì \( D \) là phân giác, ta có:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]

Sau khi quy đổi và sắp xếp lại, ta có thể chứng minh rằng:
\[
NI \cdot PC = PI \cdot NB
\]

Kết luận: Ta đã chứng minh được các phần a, b, c của bài toán.