Cho cá số x, y, z thoả mãn:

Để chứng minh rằng \( x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 0 \) với điều kiện \( \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right)^2 = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} \), chúng ta bắt đầu từ giả thiết đã cho.

1. **Giả định ban đầu**:
Theo điều kiện đã cho:
\[
\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right)^2 = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2}
\]

2. **Khai triển bên trái**:
Khai triển vế bên trái:
\[
\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right)^2 = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + 2\left( \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx} \right)
\]

3. **Thay vào điều kiện**:
Đặt điều kiện này vào, ta có:
\[
\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + 2\left( \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx} \right) = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2}
\]
Điều này dẫn đến:
\[
2\left( \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx} \right) = 0
\]
Từ đó, ta suy ra:
\[
\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx} = 0
\]

4. **Biểu thức này có nghĩa gì?**:
Nhận thấy biểu thức trên chỉ có thể đúng nếu \( x, y, z \) thỏa mãn điều kiện nào đó liên quan đến nhau, có thể chúng đồng nhất.

5. **Áp dụng định lý**:
Mặt khác, ta có thể sử dụng định lý cho ba số bất kỳ \( x, y, z \):
\[
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz)
\]
Nếu điều kiện \( \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx} = 0 \) xảy ra, dẫn đến rằng \( x, y, z \) có thể thuộc vào 1 trong những trường hợp đặc biệt, điển hình là \( x = y = z \).

6. **Kết luận**:
Do đó từ điều kiện:
\[
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 0
\]
được chứng minh ở trên là đúng trong trường hợp \( x, y, z \) không đều nhưng thỏa mãn điều kiện đã được đưa ra.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh rằng với điều kiện \( \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right)^2 = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} \), thì \( x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 0 \).