Để rút gọn biểu thức \( P \), ta có:

\[
P = \left( \frac{\sqrt{a}}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{a}} \right) \left( \frac{a - \sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1} \cdot \frac{a + \sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} \right)
\]

**Bước 1: Rút gọn phần đầu tiên.**

\[
\frac{\sqrt{a}}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{a}} = \frac{1}{4}
\]

**Bước 2: Rút gọn phần thứ hai.**

Ta có:

\[
\frac{a - \sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1} \cdot \frac{a + \sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1}
\]

Áp dụng công thức:

\[
(a - b)(a + b) = a^2 - b^2
\]

Trong đó, \( a = a \) và \( b = \sqrt{a} \), ta có:

\[
= \frac{a^2 - (\sqrt{a})^2}{(\sqrt{a} + 1)(\sqrt{a} - 1)} = \frac{a^2 - a}{a - 1}
\]

**Bước 3: Kết hợp kết quả.**

Vậy ta có biểu thức sau:

\[
P = \frac{1}{4} \cdot \frac{a(a - 1)}{a - 1} = \frac{1}{4} \cdot a \quad (a \neq 1)
\]

Kết quả cuối cùng là:

\[
P = \frac{a}{4} \quad (a \neq 1)
\]

**Bước 4: Tìm \( a \) để \( P \geq -2 \)**

Giải bất phương trình:

\[
\frac{a}{4} \geq -2
\]

Nhân cả hai vế với 4 (và giữ dấu không đổi vì \( a > 0 \)):

\[
a \geq -8
\]

Vì \( a > 0 \), kết hợp với điều kiện này ta chỉ cần:

\[
a \geq 0
\]

**Kết luận:**

1. Biểu thức \( P \) rút gọn là \( P = \frac{a}{4} \).
2. Để \( P \geq -2 \) thì \( a > 0 \).