Để tính thể tích của hình hộp chữ nhật mới sau khi tăng kích thước lên 2 lần, ta thực hiện như sau:

1. **Thể tích ban đầu** của hình hộp chữ nhật là \( V_1 = 216 \, cm^3 \).

2. Khi tăng chiều dài, chiều rộng và chiều cao mỗi kích thước lên 2 lần, thì thể tích mới sẽ được tính theo công thức:
\[
V_2 = (2a) \times (2b) \times (2c) = 8 \times (a \times b \times c) = 8 \times V_1
\]

3. Do đó, ta có:
\[
V_2 = 8 \times 216 = 1728 \, cm^3
\]

Vậy, thể tích của hình hộp chữ nhật mới là **C. 1728 cm³**.