Cho đường thẳng c cắt 2 đường thẳng a và b lần lượt tại A và B. Từ A; B kẻ tia phân giác của 2 góc so le trong tại A và B

Để chứng minh hai đoạn thẳng \( AM \) và \( BN \) song song, ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học cơ bản và định nghĩa về tia phân giác.

1. **Gọi các góc:** Đặt \( \angle A_1 = \angle CAB \) và \( \angle A_2 = \angle BAC \) là hai góc so le trong tại A, đồng thời gọi \( \angle B_1 = \angle ABC \) và \( \angle B_2 = \angle BCA \) là hai góc so le trong tại B.

2. **Tia phân giác:** Gọi \( AM \) là tia phân giác của góc \( A_1 \) và \( BN \) là tia phân giác của góc \( B_1 \). Theo định nghĩa tia phân giác, ta có:

\[
\frac{\tan(\angle CAM)}{\tan(\angle BAM)} = \frac{AC}{AB}
\]
và
\[
\frac{\tan(\angle CBN)}{\tan(\angle ABN)} = \frac{BC}{BA}
\]

Cả hai xác định trên đều là các tỉ số liên hệ giữa các phía và độ dài của các cạnh của tam giác.

3. **Tính chất song song:** Vì \( a \parallel b \), nên các góc so le trong \( \angle A_1 \) và \( \angle B_1 \) là bằng nhau:

\[
\angle A_1 = \angle B_1
\]

4. **Phương pháp chiếu:** Khi tia phân giác \( AM \) cắt tia \( c \) tại \( M \) và tia phân giác \( BN \) cắt tia \( a \) tại \( N \), thì ta sẽ có góc \( \angle CAM = \angle CBN \) và \( \angle BAM = \angle ABN \).

5. **Góc đồng vị:** Từ các thông tin trên, ta nhận thấy:

\[
\angle CAM = \angle CBN \implies AM \text{ cắt với } c \text{ tại } M
\quad \text{và} \quad
\angle BAM = \angle ABN
\]

Điều này chứng minh rằng góc giữa hai tia phân giác này với đường thẳng a // b giữ nguyên tỉ lệ giữa các góc đồng vị.

6. **Kết luận:** Do \( AM \) là tia phân giác của góc so le trong tại A và \( BN \) là tia phân giác của góc so le trong tại B, tức là khi hai tia phân giác cắt nhau thì ta có thể rút ra rằng \( AM \parallel BN \).

Như vậy, ta đã chứng minh rằng \( AM \parallel BN \).