Để giải bài toán này, ta sẽ đi từng phần một.

### a) Chứng minh tứ giác AGCE là hình bình hành.

Để chứng minh tứ giác AGCE là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của nó bằng nhau:

- **Xét các đoạn:**
- AG = CE (bởi vì N là trung điểm của EG, nên GE = AG)
- AC || GE (do đường trung tuyến AM và BN cắt tại G).

Từ hai cặp cạnh bằng nhau và song song, ta kết luận rằng tứ giác AGCE là hình bình hành.

### b) Trên tia AM lấy điểm F sao cho AG = GF. Chứng minh MG = MF và BF || AE.

- **Xét đoạn đường:** Với AG = GF, ta có F nằm trên tia AM, tức là AF = 2AG.
- **Chứng minh MG = MF:**
- Ta có MG + GF = AG + AG = 2AG.
- Sau đó, theo định nghĩa, MG = AG = GF, nên MG = MF.

- **Chứng minh BF || AE:**
- Vì N là trung điểm của EG, và F được chọn sao cho AG = GF, nên theo định nghĩa tỉ số trong tam giác, ta có BF || AE.

### c) Để AEFC là hình thang cân thì ΔABC cần thêm điều kiện gì?

Để AEFC là hình thang cân, cần có điều kiện là hai đáy AE và CF phải song song và bằng nhau. Điều này xảy ra khi:

- **Điều kiện:**
- Góc GAB bằng góc GCA (tức là AGC = BGC), trong tam giác ABC cần có tang cùng với điểm G.

Điều kiện tối thiểu là ba điểm A, E, F, C cần kết hợp để tạo hình thang cân.