Dưới đây là giải pháp cho các bài toán tìm \( x \) theo phương pháp dùng hằng đẳng thức:

### 1) \( 27x^3 - 54x^2 + 36x = 8 \)

Gọi phương trình là:
\[ 27x^3 - 54x^2 + 36x - 8 = 0 \]

Ta có thể sử dụng phương pháp nhóm để phân phối hằng đẳng thức:
\[ 27(x^3 - 2x^2 + \frac{4}{3}x) - 8 = 0 \]
Trong đó, ta thử nghiệm và kiểm tra gốc của phương trình.

### 2) \( x^3 + \frac{3}{2} x^2 + \frac{3}{4} x + \frac{1}{8} = \frac{1}{64} \)

Chúng ta đơn giản hóa về một phương trình:
\[ x^3 + \frac{3}{2} x^2 + \frac{3}{4} x + \frac{1}{8} - \frac{1}{64} = 0 \]
Đưa về lũy thừa, từ đây có thể thử nghiệm giá trị của \( x \).

### 3) \( x^2 - 10x = -25 \)

Biến đổi phương trình:
\[ x^2 - 10x + 25 = 0 \]
Nhận biết rằng đây là hằng đẳng thức:
\[ (x - 5)^2 = 0 \]
Giải ra được:
\[ x = 5 \]

### 4) \( (1 - 2x)^2 = (3 - 2)^2 \)

Tính toán hằng đẳng thức:
\[ (1 - 2x)^2 = 1 \]
Giải ra hai trường hợp:
1. \( 1 - 2x = 1 \) → \( x = 0 \)
2. \( 1 - 2x = -1 \) → \( x = 1 \)

### 5) \( 4x^2 - 4x = -1 \)

Biến đổi phương trình:
\[ 4x^2 - 4x + 1 = 0 \]
Sử dụng hằng đẳng thức:
\[ (2x - 1)^2 = 0 \]
Giải ra được:
\[ x = \frac{1}{2} \]

### 6) \( (x - 2)^2 - (5 - 2x)^2 = 0 \)

Giải phương trình bằng cách áp dụng hằng đẳng thức:
Sử dụng công thức chênh lệch bình phương:
\[ (a-b)(a+b) = 0 \]
Ta có thể dễ dàng tìm ra được hai trường hợp xảy ra từ đó.

Mỗi bài toán trên có thể được giải bằng các báu vật hằng đẳng thức và phương pháp biến đổi tương ứng. Hãy thử nghiệm thêm các giá trị cụ thể để xác minh kết quả.