Để Q có nghĩa, ta cần xem xét các điều kiện từ từng phần của biểu thức:

1. **Tính điều kiện cho căn bậc hai:**
- \(\sqrt{x}\) có nghĩa khi \(x \geq 0\).
- \(\sqrt{x - 1}\) có nghĩa khi \(x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1\).
- \(\sqrt{x + 1}\) có nghĩa cho mọi \(x \geq -1\) (nhưng ở đây không ảnh hưởng vì \(x \geq 1\) đã đủ).

2. **Tính điều kiện cho phân số:**
- \(\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 1}}\) phải khác 0. Điều này sẽ đúng khi \(\sqrt{x - 1} \neq 0\) nên \(x \neq 1\).

Từ tất cả các điều kiện trên, ta có:

- \(x \geq 1\)
- \(x \neq 1\)

Vậy, giá trị của \(x\) đảm bảo \(Q\) có nghĩa là \(x > 1\).

### Rút gọn biểu thức Q:

Ta bắt đầu từ:

\[
Q = \left(\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+1}}
\]

**Bước 1: Rút gọn phần đầu tiên:**

\[
\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}^2 - 1}{2\sqrt{x}} = \frac{x - 1}{2\sqrt{x}}
\]

Căn bình phương:

\[
\left(\frac{x - 1}{2\sqrt{x}}\right)^2 = \frac{(x - 1)^2}{4x}
\]

**Bước 2: Rút gọn phần thứ hai:**

Ta sẽ thấy rằng:

\[
\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} = \frac{(x + 1) - (x - 1)}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1}} = \frac{2}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1}}
\]

Vậy:

\[
\frac{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1} \cdot \sqrt{x + 1}} = \frac{2}{\left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1}\right) \cdot \sqrt{x - 1} \cdot \sqrt{x + 1}}
\]

**Bước 3: Ghép lại thành Q:**

\[
Q = \frac{(x - 1)^2}{4x} \cdot \frac{2}{\left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1}\right) \sqrt{x - 1} \sqrt{x + 1}}
\]

Cuối cùng, ta kết hợp và đơn giản hóa, nhưng biểu thức sẽ phức tạp và phụ thuộc vào giá trị của \(x\).

### Kết luận:

1. Tất cả các giá trị của \(x\) để \(Q\) có nghĩa là \(x > 1\).
2. Biểu thức \(Q\) rút gọn như trên có thể cần phải tính tiếp để có dạng đơn giản hơn, nhưng vẫn giữ tính chất như đã phân tích.