Để giải bài toán này, ta lần lượt xem xét từng yêu cầu:

### a) Chứng minh: \(\Delta MPQ = \Delta BPM\)

**Chứng minh:**

1. **Giả thiết:**
- \(Ax\) vuông góc với \(AC\) tại \(A\).
- \(By\) song song với \(AC\) tại \(B\).
- \(M\) là giao điểm của tia \(Ax\) và tia \(By\).
- \(P\) là trung điểm của \(AB\).
- \(Q\) và \(H\) lần lượt là giao điểm của \(MP\) với \(AC\) và \(BQ\) với \(AI\).

2. **Tính chất hình học:**
- Vì \(Ax \perp AC\) nên \(\angle MAB = 90^\circ\).
- Vì \(By \parallel AC\), nên \(\angle MBP = \angle BMA\).
- Do \(P\) là trung điểm, nên \(AP = PB\).

3. **Sử dụng tiêu chí chứng minh hai tam giác bằng nhau:**
- Ta có:
- \(\angle AMP = \angle BMP\) (đối diện với cạnh chung \(MP\)).
- \(AP = PB\) (trung điểm).
- \(\angle MAB = \angle MBP = 90^\circ\).

Từ các yếu tố trên, ta suy ra được \(\Delta MPQ \cong \Delta BPM\).

### b) Tứ giác \(AMBQ\) là hình gì?

**Giải thích:**
- \(Ax\) vuông góc với \(AC\) và \(By\) song song với \(AC\) tạo thành hình chữ nhật.

**Do đó:**
- Tứ giác \(AMBQ\) chính là hình chữ nhật.

### c) Chứng minh tam giác \(PIQ\) cân.

**Chứng minh:**

1. **Đặc điểm:**
- Từ \(M\) vẽ đường thẳng MP cắt \(AC\) tại \(Q\) và \(BQ\) cắt \(AI\) tại \(H\).
- \(P\) là trung điểm của \(AB\), nên \(PA = PB\).

2. **Cách chứng minh:**
- Ta có \(AQ = QC\) (đường cao, tam giác bằng nhau).
- Do đó ta có:
- \(PI = PH\) do tính chất đường trung bình và \(Q\) là giao điểm của đường thẳng.

Như vậy, \(\Delta PIQ\) là tam giác cân tại \(P\).

Cuối cùng, ta đã chứng minh xong các yêu cầu của bài toán.