Gọi hai số cần tìm là \( x \) và \( y \).

1. Theo đề bài, ta có hai điều kiện:
- Tổng của hai số:
\[
x + y = 18
\]
- Nếu tăng mỗi số thêm 2 đơn vị thì tích mới sẽ gấp 1,5 lần tích cũ:
\[
(x + 2)(y + 2) = 1.5 \cdot (xy)
\]

2. Từ điều kiện đầu tiên, ta có thể biểu diễn \( y \) theo \( x \):
\[
y = 18 - x
\]

3. Thay \( y \) vào phương trình thứ hai:
\[
(x + 2)((18 - x) + 2) = 1.5 \cdot (x(18 - x))
\]
\[
(x + 2)(20 - x) = 1.5 \cdot (18x - x^2)
\]

4. Mở rộng và rút gọn phương trình bên trái:
\[
20x - x^2 + 40 - 2x = 1.5 \cdot (18x - x^2)
\]
\[
18x - x^2 + 40 = 27x - 1.5x^2
\]

5. Đưa tất cả về một phía:
\[
-x^2 + 27x - 18x - 40 = -1.5x^2
\]
\[
0.5x^2 - 9x + 40 = 0
\]

6. Nhân cả phương trình với 2 để đơn giản:
\[
x^2 - 18x + 80 = 0
\]

7. Giải phương trình bậc hai bằng công thức:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{18 \pm \sqrt{(-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 80}}{2 \cdot 1}
\]
\[
= \frac{18 \pm \sqrt{324 - 320}}{2} = \frac{18 \pm 2}{2}
\]

8. Tính ra:
- \( x_1 = \frac{20}{2} = 10 \)
- \( x_2 = \frac{16}{2} = 8 \)

9. Vậy hai số là:
\[
(10, 8) \quad \text{hoặc} \quad (8, 10)
\]

Kiểm tra điều kiện:
- Tổng: \( 10 + 8 = 18 \).
- Tích ban đầu: \( 10 \cdot 8 = 80 \).
- Tích mới: \( (10 + 2)(8 + 2) = 12 \cdot 10 = 120 \).
- Kiểm tra: \( 1.5 \cdot 80 = 120 \) xác nhận đúng.

=> Hai số cần tìm là 10 và 8.