Để chứng minh tứ giác ABCD là hình thang, ta sẽ sử dụng tính chất của tia phân giác và các đoạn thẳng.

1. **Giả thiết**: Ta có AB = AD và BD là tia phân giác của góc B.

2. **Tính chất tia phân giác**: Theo định nghĩa, BD chia góc B thành hai góc bằng nhau: ∠ABD = ∠DBC.

3. **Từ giả thiết AB = AD**: Vì AB = AD, nên ta có hai tam giác ABD và ACD có cạnh AB = AD và chung cạnh BD.

4. **Sử dụng định lý tam giác**:
- Tam giác ABD và tam giác ACD có:
- AB = AD (theo giả thiết)
- ∠ABD = ∠DAC (do BD là tia phân giác)
- Do đó, theo định lý về tam giác, ta suy ra rằng:
- ∠ABC = ∠ADC.

5. **Kết luận**: Với ∠ABC = ∠ADC, ta có hai góc đối diện bằng nhau trong tứ giác ABCD, nghĩa là ABCD là hình thang.

Vậy tứ giác ABCD là hình thang khi có AB = AD và BD là tia phân giác của góc B.