Để giải bài toán này, ta sẽ đi từng phần một.

**a) Chứng minh rằng \(\Delta ABD = \Delta EBD\):**

1. **Thông tin đã cho:**
- \(AB = AE\) (theo điều kiện \(BE = BA\)).
- \(AD\) là tia phân giác của góc \(B\), do đó: \(\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}\).
- \(D\) nằm trên \(AC\).

2. **Chứng minh ba yếu tố:**
- Hai tam giác có chung cạnh \(BD\).
- \(AB = AE\).
- \(AD = AD\) (cạnh chung).

3. **Kết luận:** Theo tiêu chí cạnh - cạnh - cạnh (CC), ta có \(\Delta ABD = \Delta EBD\).

---

**b) Kẻ đường cao \(AH\) của tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng tứ giác \(ADEH\) là hình thang vuông.**

1. **Thông tin đã cho:**
- \(AH\) là đường cao \(\Rightarrow AH \perp BC\) và \(AH \perp AB\).
- \(D\) là điểm trên \(AC\).

2. **Chứng minh:**
- Vì \(AH \perp AC\) và \(AD\) là phân giác của góc \(B\), ta có hai góc \(ADE\) và \(EHA\) đều bằng \(90^\circ\).

3. **Kết luận:** Do đó, tứ giác \(ADEH\) là hình thang vuông.

---

**c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AH\) với \(BD\). Đường thẳng \(EI\) cắt \(AB\) tại \(F\). Chứng minh rằng tứ giác \(ACEF\) là hình thang vuông.**

1. **Thông tin:**
- \(I\) là giao điểm của \(AH\) và \(BD\).
- \(E\) là điểm trên \(BC\).

2. **Chứng minh:**
- Từ \(E\) đến \(FI\) có thể suy ra rằng tứ giác \(ACEF\) đã có hai cạnh \(AE\) và \(EF\) vuông góc với \(AC\).

3. **Kết luận:** Do đó, tứ giác \(ACEF\) là hình thang vuông.

Kết thúc chứng minh cho cả ba phần.