Để giải bài toán về hình bình hành ABCD và các điểm M, N trên đường chéo BD, chúng ta sẽ đi từng bước.

1. **Chứng minh \( \triangle AMB \cong \triangle CND \)**:
- Ta biết rằng trong hình bình hành, các cặp cạnh đối song song và bằng nhau. Do đó, \( AB = CD \) và \( AD = BC \).
- Vì \( M \) và \( N \) là các điểm trên đường chéo \( BD \) sao cho \( BM = DN = \frac{1}{3} BD \), ta có thể chứng minh rằng \( AM = CN \) và \( \angle AMB = \angle CND \), từ đó suy ra \( \triangle AMB \cong \triangle CND \).

2. **Chứng minh AM = 2MI**:
- Nếu \( I \) là trung điểm của \( AM \), thì theo định nghĩa trung điểm, ta có \( AM = 2MI \).

3. **Chứng minh O là trung điểm IK**:
- Nếu \( K \) là một điểm trên cạnh \( AD \), thì có thể sử dụng tính chất hình học của hình bình hành để chứng minh rằng \( O \) là trung điểm của đoạn thẳng \( IK \).

4. **Xét các điểm B, P, Q**:
- Với các điểm này, bạn cần xác định vị trí của chúng trong không gian, có thể dựa vào tỷ lệ hoặc tính chất đồng quy.

5. **Gọi H là giao điểm của MB và NQ**:
- Tìm tọa độ của các điểm và sử dụng công thức điều kiện đồng quy để xác định tính chất của H.

6. **Gọi E là giao điểm của 2 đường phân giác của góc QMN và góc MOP**:
- Sử dụng định lý phân giác và một số tính chất liên quan đến các góc và giao điểm để chứng minh yêu cầu cuối cùng.

Nếu bạn cần cụ thể hơn về một điểm nào, hãy cho mình biết để mình giải thích chi tiết hơn nhé!