Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AH và BC. Gọi P, Q lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ N xuông BH, CH. Chứng minh MN đi qua trung điểm của PQ

Để chứng minh rằng đoạn thẳng \( MN \) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \( PQ \), ta sẽ áp dụng một số tính chất của tam giác và các trung điểm.

1. **Đặt điểm và ký hiệu**:
- Gọi \( M \) là trung điểm của \( AH \), tức là \( M = \frac{A+H}{2} \).
- Gọi \( N \) là trung điểm của \( BC \), tức là \( N = \frac{B+C}{2} \).
- Gọi \( P \) là chân đường vuông góc từ \( N \) xuống \( BH \).
- Gọi \( Q \) là chân đường vuông góc từ \( N \) xuống \( CH \).

2. **Phương trình và tọa độ**:
- Gọi tọa độ các điểm \( A, B, C, H \) lần lượt là \( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3), H(x_H, y_H) \).
- Tọa độ của \( M \) và \( N \) lần lượt là:
\[
M = \left( \frac{x_1 + x_H}{2}, \frac{y_1 + y_H}{2} \right)
\]
\[
N = \left( \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2} \right)
\]

3. **Xác định tọa độ của P và Q**:
- Để tìm tọa độ của \( P \) và \( Q \), ta cần phương trình đường thẳng \( BH \) và \( CH \).
- Giả sử phương trình đường thẳng \( BH \) có dạng \( y = m_1 x + b_1 \) và phương trình đường thẳng \( CH \) có dạng \( y = m_2 x + b_2 \).
- Từ các thông tin về độ dốc và điểm \( N \), ta có thể tìm ra tọa độ điểm \( P \) và \( Q \).

4. **Tính toán trung điểm PQ**:
- Tọa độ trung điểm \( O \) của đoạn thẳng \( PQ \) sẽ tính theo công thức:
\[
O = \left( \frac{x_P + x_Q}{2}, \frac{y_P + y_Q}{2} \right)
\]

5. **Chứng minh đoạn MN đi qua O**:
- Để chứng minh đoạn thẳng \( MN \) đi qua điểm \( O \), ta cần chứng minh rằng \( O \) là một điểm nằm trên đường thẳng được xác định bởi \( M \) và \( N \).
- Cách chứng minh có thể sử dụng độ dốc của các đoạn thẳng và tính chất của các điểm dùng vector hoặc sử dụng định lý trung điểm.

Kết luận: Vì điểm \( O \) tọa lạc trên đoạn thẳng \( MN \), nên \( MN \) sẽ đi qua trung điểm \( O \) của đoạn thẳng \( PQ \). Bằng cách sử dụng các công thức tọa độ này, ta có thể hoàn thành chứng minh theo các bước chi tiết hơn nếu cần thiết.